迭代函数

在数学中，迭代函数是在碎形和动力系统中深入研究的对象。迭代函数是重复的与自身复合的函数，这个过程叫做迭代。

定义

在集合 $X$ 上的迭代函数的形式定义为:

设 $X$ 是集合和 $f:X\rightarrow X$ 是函数。定义 $f$ 的 $n$ 次迭代 $f^{n}$ 为 $f^{0}=\operatorname {id} _{X}$ 而 $f^{n+1}=f\circ f^{n}$，这里的 $\operatorname {id} _{X}$ 是在 $X$ 上的恒等函数。

在上述中，$f\circ g$ 指示函数复合；就是说 $(f\circ g)(x)=f(g(x))$。

换句话说，迭代函数也可以表示为以下的形式：

$f^{n}(x)={\underbrace {f(f(f(...f(f} _{n}}(x))...)))$

$f^{0}(x)$定义为$x$。

$f^{-n}(x)$定义为$f^{n}(x)$的反函数。（如果$f^{n}(x)$的反函数不存在，则$f^{-n}(x)$也不存在）

因此，$f^{1}(x)$就是$f(x)$，$f^{2}(x)$是$f(f(x))$，$f^{0}(x)$是恒等函数$x$，$f^{-1}(x)$是$f(x)$的反函数（如果存在的话），而$f^{\frac {1}{2}}(x)$就是能够使得合成函数$g(g(x))$正好是$f(x)$的函数$g(x)$。

注意，一般情况下，$f^{n}(x)$并不等于$(f(x))^{n}$或$f(x^{n})$，而例如$\sin ^{-1}(x)$是$\sin(x)$的反函数，亦即$\arcsin(x)$，而不是${\frac {1}{\sin(x)}}=\csc(x)$。

例

一些特殊函数的幂次为（其中$a$、$b$、$n$可为任意复数，亦即$a,b,n\in \mathbb {C}$）：

$f(x)=a$，$f^{n}(x)=a{\text{ if }}n\in \mathbb {R} \land n>0,f^{n}(x)=x{\text{ if }}n=0$（在$n$是负实数或虚数的时候并没有定义，就好比$0^{n}$在$n$是负实数或虚数的时候也没有定义）

$f(x)=x+a$，$f^{n}(x)=x+na$

$f(x)=ax$，$f^{n}(x)=a^{n}x$

$f(x)=x^{a}$，$f^{n}(x)=x^{a^{n}}$（注意迭代幂次要由右往左算）

$f(x)=ax+b$，$f^{n}(x)=a^{n}x+{\frac {a^{n}-1}{a-1}}b$（$a\neq 1$）

$f(x)=bx^{a}$，$f^{n}(x)=b^{\frac {a^{n}-1}{a-1}}x^{a^{n}}$（$a\neq 1$）

（注意任何非零复数的任何复数次方都有定义：$a^{n}=e^{n\ln a}=e^{{\text{Re}}(n\ln a)}(\cos({\text{Im}}(n\ln a)+i\sin({\text{Im}}(n\ln a))$，当$a$为负实数或虚数时，$\ln(a)=\ln(|a|)+i{\text{arg}}(a)$，其中$|a|$为复数$a$的绝对值，${\text{arg}}(a)$为复数$a$的主幅角，${\text{Re}}(a)$为复数$a$的实部，${\text{Im}}(a)$为复数$a$的虚部）

函数幂亦有类似指数律的定理，其中$m$、$n$可为任意复数，亦即$m,n\in \mathbb {C}$：

$f^{m}(f^{n}(x))=f^{m+n}(x)$

$(f^{m})^{n}(x)=f^{mn}(x)$

注意函数的合成是不可交换的（$gf(x)$并不一定等于$fg(x)$）但因为可结合（$h(gf)(x)$一定等于$(hg)f(x)$），所以会符合幂结合性，因此这两条“函数幂的指数律”并没有任何问题。

这跟例如指数拓展到次方为负整数、分数、无理数、复数，以及阶乘运算跟排列组合运算$P_{n}^{m}$、$C_{n}^{m}$拓展到非整数和负数时（使用伽玛函数）一样，二项式定理也可以用这种方式拓展到负整数、分数、无理数、复数，只是会变成无穷级数而不再是有限级数而已，包括矩阵的$n$次方以及微分$n$次（$n$为负整数时等同于积分$-n$次），也都可以用这种方式，把$n$拓展到任意复数，或例如已知“首项”、“公差/公比”、“项数”的等差数列或等比数列要求出全部项的和或乘积的公式，也都可以用这种方式，拓展到项数为负整数、分数、无理数、复数的情况（包括一般的$\sum _{x=m}^{n}f(x)$与$\prod _{x=m}^{n}f(x)$中，$f(x)$为常见的函数如多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数的时候，$m$跟$n$也能拓展到任意复数，就跟积分式$\int _{m}^{n}f(x)$一样），至于超运算$a[n]b$能不能拓展到分数、无理数或复数，则是数学中未解决的问题之一。

从迭代建立序列

函数 $f^{n}$ 的序列叫做 Picard 序列，得名于埃米尔·皮卡。对于一个给定 $x\in X$，$f^{n}(x)$ 的值的序列叫做 $x$ 的轨道。

如果对于某个整数 $m$ 有 $f^{n}(x)=f^{n+m}(x)$，则轨道叫做周期轨道。对于给定 $x$ 最小的这种 $m$ 值叫做轨道的周期。点 $x$ 自身叫周期点。

不动点

如果m=1，就是说如果对于某个X中的x有f(x) = x，则x被称为迭代序列的不动点。不动点的集合经常指示为Fix（f）。存在一些不动点定理保证在各种情况下不动点的存在性，包括巴拿赫不动点定理和Brouwer不动点定理。

有很多技术通过不动点迭代产生了序列收敛加速。例如，应用于一个迭代不动点的Aitken方法叫做Steffensen方法，生成二次收敛。 不动点理论同样也适用于经济学领域。

极限行为

通过迭代，可以发现有向一个单一点收缩和会聚的一个集合。在这种情况下，会聚到的这个点叫做吸引不动点。反过来说，迭代也可以表现得从一个单一点发散；这种情况叫不稳定不动点。

当轨道的点会聚于一个或多个极限的时候，轨道的会聚点的集合叫做极限集合或 ω-极限集合。

吸引和排斥的想法类似推广；依据在迭代下小邻域行为，可把迭代分类为稳定集合和不稳定集合。

其他极限行为也有可能；比如，游荡点是总是移动永不回到甚至接近起点的点。

例子

著名的迭代函数包括曼德博集合和迭代函数系统。

如果 f 是一个群元素在一个集合上的作用，则迭代函数对应于自由群。

参见

• 旋转数
• Sarkovskii定理

引用

• Vasile I. Istratescu, Fixed Point Theory, An Introduction, D.Reidel, Holland (1981). ISBN 90-277-1224-7