迭代函数

数学中,迭代函数[1]是在碎形动力系统中深入研究的对象。迭代函数是重复的与自身复合的函数,这个过程叫做迭代

定义

集合   上的迭代函数的形式定义为:

  是集合和  函数。定义    次迭代    ,这里的   是在   上的恒等函数

在上述中,  指示函数复合;就是说  

换句话说,迭代函数也可以表示为以下的形式:

 

 定义为 

 定义为 反函数。(如果 的反函数不存在,则 也不存在)

因此, 就是    是恒等函数   的反函数(如果存在的话),而 就是能够使得合成函数 正好是 的函数 

注意,一般情况下, 并不等于  ,而例如  的反函数,亦即 ,而不是 

一些特殊函数的幂次为(其中   可为任意复数,亦即 ):

  (在 是负实数或虚数的时候并没有定义,就好比  是负实数或虚数的时候也没有定义)

  

  

  (注意迭代幂次要由右往左算)

   

   

(注意任何非零复数的任何复数次方都有定义: ,当 为负实数或虚数时, ,其中 为复数 绝对值 为复数 主幅角 为复数 实部 为复数 虚部

函数幂亦有类似指数律的定理,其中  可为任意复数,亦即 

 

 

注意函数的合成是不可交换的( 并不一定等于 )但因为可结合( 一定等于 ),所以会符合幂结合性,因此这两条“函数幂的指数律”并没有任何问题。

这跟例如指数拓展到次方为负整数、分数、无理数、复数,以及阶乘运算跟排列组合运算  拓展到非整数和负数时(使用伽玛函数)一样,二项式定理也可以用这种方式拓展到负整数、分数、无理数、复数,只是会变成无穷级数而不再是有限级数而已,包括矩阵 次方以及微分 次( 为负整数时等同于积分 次),也都可以用这种方式,把 拓展到任意复数,或例如已知“首项”、“公差/公比”、“项数”的等差数列等比数列要求出全部项的和或乘积的公式,也都可以用这种方式,拓展到项数为负整数、分数、无理数、复数的情况(包括一般的  中, 为常见的函数如多项式函数指数函数对数函数三角函数的时候,  也能拓展到任意复数,就跟积分式 一样),至于超运算 能不能拓展到分数、无理数或复数,则是数学中未解决的问题之一。

从迭代建立序列

函数   的序列叫做 Picard 序列,得名于埃米尔·皮卡。对于一个给定    的值的序列叫做  轨道

如果对于某个整数   ,则轨道叫做周期轨道。对于给定   最小的这种   值叫做轨道的周期。点   自身叫周期点

不动点

如果m=1,就是说如果对于某个X中的xf(x) = x,则x被称为迭代序列的不动点。不动点的集合经常指示为Fixf)。存在一些不动点定理保证在各种情况下不动点的存在性,包括巴拿赫不动点定理Brouwer不动点定理

有很多技术通过不动点迭代英语Fixed-point iteration产生了序列收敛加速。例如,应用于一个迭代不动点的Aitken方法叫做Steffensen方法,生成二次收敛。 不动点理论同样也适用于经济学领域。

极限行为

通过迭代,可以发现有向一个单一点收缩和会聚的一个集合。在这种情况下,会聚到的这个点叫做吸引不动点。反过来说,迭代也可以表现得从一个单一点发散;这种情况叫不稳定不动点

当轨道的点会聚于一个或多个极限的时候,轨道的会聚点的集合叫做极限集合ω-极限集合

吸引和排斥的想法类似推广;依据在迭代下小邻域行为,可把迭代分类为稳定集合不稳定集合

其他极限行为也有可能;比如,游荡点是总是移动永不回到甚至接近起点的点。

例子

著名的迭代函数包括曼德博集合迭代函数系统

如果 f 是一个群元素在一个集合上的作用,则迭代函数对应于自由群

参见

引用

  1. ^ 疊代iteration. 国家教育研究院辞书资讯网. [2021-11-07]. (原始内容存档于2021-11-08). 名词解释:指重复的一序列指令或事件;如程式的回圈。 
  • Vasile I. Istratescu, Fixed Point Theory, An Introduction, D.Reidel, Holland (1981). ISBN 90-277-1224-7