疊代函數

數學中,疊代函數[1]是在碎形動力系統中深入研究的對象。疊代函數是重複的與自身複合的函數,這個過程叫做疊代

定義

集合   上的疊代函數的形式定義為:

  是集合和  函數。定義    次疊代    ,這裏的   是在   上的恆等函數

在上述中,  指示函數複合;就是說  

換句話說,疊代函數也可以表示為以下的形式:

 

 定義為 

 定義為 反函數。(如果 的反函數不存在,則 也不存在)

因此, 就是    是恆等函數   的反函數(如果存在的話),而 就是能夠使得合成函數 正好是 的函數 

注意,一般情況下, 並不等於  ,而例如  的反函數,亦即 ,而不是 

一些特殊函數的冪次為(其中   可為任意複數,亦即 ):

  (在 是負實數或虛數的時候並沒有定義,就好比  是負實數或虛數的時候也沒有定義)

  

  

  (注意疊代冪次要由右往左算)

   

   

(注意任何非零複數的任何複數次方都有定義: ,當 為負實數或虛數時, ,其中 為複數 絕對值 為複數 主幅角 為複數 實部 為複數 虛部

函數冪亦有類似指數律的定理,其中  可為任意複數,亦即 

 

 

注意函數的合成是不可交換的( 並不一定等於 )但因為可結合( 一定等於 ),所以會符合冪結合性,因此這兩條「函數冪的指數律」並沒有任何問題。

這跟例如指數拓展到次方為負整數、分數、無理數、複數,以及階乘運算跟排列組合運算  拓展到非整數和負數時(使用伽瑪函數)一樣,二項式定理也可以用這種方式拓展到負整數、分數、無理數、複數,只是會變成無窮級數而不再是有限級數而已,包括矩陣 次方以及微分 次( 為負整數時等同於積分 次),也都可以用這種方式,把 拓展到任意複數,或例如已知「首項」、「公差/公比」、「項數」的等差數列等比數列要求出全部項的和或乘積的公式,也都可以用這種方式,拓展到項數為負整數、分數、無理數、複數的情況(包括一般的  中, 為常見的函數如多項式函數指數函數對數函數三角函數的時候,  也能拓展到任意複數,就跟積分式 一樣),至於超運算 能不能拓展到分數、無理數或複數,則是數學中未解決的問題之一。

從疊代建立序列

函數   的序列叫做 Picard 序列,得名於埃米爾·皮卡。對於一個給定    的值的序列叫做  軌道

如果對於某個整數   ,則軌道叫做周期軌道。對於給定   最小的這種   值叫做軌道的周期。點   自身叫周期點

不動點

如果m=1,就是說如果對於某個X中的xf(x) = x,則x被稱為疊代序列的不動點。不動點的集合經常指示為Fixf)。存在一些不動點定理保證在各種情況下不動點的存在性,包括巴拿赫不動點定理Brouwer不動點定理

有很多技術通過不動點疊代英語Fixed-point iteration產生了序列收斂加速。例如,應用於一個疊代不動點的Aitken方法叫做Steffensen方法,生成二次收斂。 不動點理論同樣也適用於經濟學領域。

極限行為

通過疊代,可以發現有向一個單一點收縮和會聚的一個集合。在這種情況下,會聚到的這個點叫做吸引不動點。反過來說,疊代也可以表現得從一個單一點發散;這種情況叫不穩定不動點

當軌道的點會聚於一個或多個極限的時候,軌道的會聚點的集合叫做極限集合ω-極限集合

吸引和排斥的想法類似推廣;依據在疊代下小鄰域行為,可把疊代分類為穩定集合不穩定集合

其他極限行為也有可能;比如,遊蕩點是總是移動永不回到甚至接近起點的點。

例子

著名的疊代函數包括曼德博集合疊代函數系統

如果 f 是一個群元素在一個集合上的作用,則疊代函數對應於自由群

參見

引用

  1. ^ 疊代iteration. 國家教育研究院辭書資訊網. [2021-11-07]. (原始內容存檔於2021-11-08). 名詞解釋:指重複的一序列指令或事件;如程式的迴圈。 
  • Vasile I. Istratescu, Fixed Point Theory, An Introduction, D.Reidel, Holland (1981). ISBN 90-277-1224-7