疊代函數

在數學中，疊代函數是在碎形和動力系統中深入研究的對象。疊代函數是重複的與自身複合的函數，這個過程叫做疊代。

定義

在集合 $X$ 上的疊代函數的形式定義為:

設 $X$ 是集合和 $f:X\rightarrow X$ 是函數。定義 $f$ 的 $n$ 次疊代 $f^{n}$ 為 $f^{0}=\operatorname {id} _{X}$ 而 $f^{n+1}=f\circ f^{n}$，這裏的 $\operatorname {id} _{X}$ 是在 $X$ 上的恆等函數。

在上述中，$f\circ g$ 指示函數複合；就是說 $(f\circ g)(x)=f(g(x))$。

換句話說，疊代函數也可以表示為以下的形式：

$f^{n}(x)={\underbrace {f(f(f(...f(f} _{n}}(x))...)))$

$f^{0}(x)$定義為$x$。

$f^{-n}(x)$定義為$f^{n}(x)$的反函數。（如果$f^{n}(x)$的反函數不存在，則$f^{-n}(x)$也不存在）

因此，$f^{1}(x)$就是$f(x)$，$f^{2}(x)$是$f(f(x))$，$f^{0}(x)$是恆等函數$x$，$f^{-1}(x)$是$f(x)$的反函數（如果存在的話），而$f^{\frac {1}{2}}(x)$就是能夠使得合成函數$g(g(x))$正好是$f(x)$的函數$g(x)$。

注意，一般情況下，$f^{n}(x)$並不等於$(f(x))^{n}$或$f(x^{n})$，而例如$\sin ^{-1}(x)$是$\sin(x)$的反函數，亦即$\arcsin(x)$，而不是${\frac {1}{\sin(x)}}=\csc(x)$。

例

一些特殊函數的冪次為（其中$a$、$b$、$n$可為任意複數，亦即$a,b,n\in \mathbb {C}$）：

$f(x)=a$，$f^{n}(x)=a{\text{ if }}n\in \mathbb {R} \land n>0,f^{n}(x)=x{\text{ if }}n=0$（在$n$是負實數或虛數的時候並沒有定義，就好比$0^{n}$在$n$是負實數或虛數的時候也沒有定義）

$f(x)=x+a$，$f^{n}(x)=x+na$

$f(x)=ax$，$f^{n}(x)=a^{n}x$

$f(x)=x^{a}$，$f^{n}(x)=x^{a^{n}}$（注意疊代冪次要由右往左算）

$f(x)=ax+b$，$f^{n}(x)=a^{n}x+{\frac {a^{n}-1}{a-1}}b$（$a\neq 1$）

$f(x)=bx^{a}$，$f^{n}(x)=b^{\frac {a^{n}-1}{a-1}}x^{a^{n}}$（$a\neq 1$）

（注意任何非零複數的任何複數次方都有定義：$a^{n}=e^{n\ln a}=e^{{\text{Re}}(n\ln a)}(\cos({\text{Im}}(n\ln a)+i\sin({\text{Im}}(n\ln a))$，當$a$為負實數或虛數時，$\ln(a)=\ln(|a|)+i{\text{arg}}(a)$，其中$|a|$為複數$a$的絕對值，${\text{arg}}(a)$為複數$a$的主幅角，${\text{Re}}(a)$為複數$a$的實部，${\text{Im}}(a)$為複數$a$的虛部）

函數冪亦有類似指數律的定理，其中$m$、$n$可為任意複數，亦即$m,n\in \mathbb {C}$：

$f^{m}(f^{n}(x))=f^{m+n}(x)$

$(f^{m})^{n}(x)=f^{mn}(x)$

注意函數的合成是不可交換的（$gf(x)$並不一定等於$fg(x)$）但因為可結合（$h(gf)(x)$一定等於$(hg)f(x)$），所以會符合冪結合性，因此這兩條「函數冪的指數律」並沒有任何問題。

這跟例如指數拓展到次方為負整數、分數、無理數、複數，以及階乘運算跟排列組合運算$P_{n}^{m}$、$C_{n}^{m}$拓展到非整數和負數時（使用伽瑪函數）一樣，二項式定理也可以用這種方式拓展到負整數、分數、無理數、複數，只是會變成無窮級數而不再是有限級數而已，包括矩陣的$n$次方以及微分$n$次（$n$為負整數時等同於積分$-n$次），也都可以用這種方式，把$n$拓展到任意複數，或例如已知「首項」、「公差/公比」、「項數」的等差數列或等比數列要求出全部項的和或乘積的公式，也都可以用這種方式，拓展到項數為負整數、分數、無理數、複數的情況（包括一般的$\sum _{x=m}^{n}f(x)$與$\prod _{x=m}^{n}f(x)$中，$f(x)$為常見的函數如多項式函數、指數函數、對數函數、三角函數的時候，$m$跟$n$也能拓展到任意複數，就跟積分式$\int _{m}^{n}f(x)$一樣），至於超運算$a[n]b$能不能拓展到分數、無理數或複數，則是數學中未解決的問題之一。

從疊代建立序列

函數 $f^{n}$ 的序列叫做 Picard 序列，得名於埃米爾·皮卡。對於一個給定 $x\in X$，$f^{n}(x)$ 的值的序列叫做 $x$ 的軌道。

如果對於某個整數 $m$ 有 $f^{n}(x)=f^{n+m}(x)$，則軌道叫做周期軌道。對於給定 $x$ 最小的這種 $m$ 值叫做軌道的周期。點 $x$ 自身叫周期點。

不動點

如果m=1，就是說如果對於某個X中的x有f(x) = x，則x被稱為疊代序列的不動點。不動點的集合經常指示為Fix（f）。存在一些不動點定理保證在各種情況下不動點的存在性，包括巴拿赫不動點定理和Brouwer不動點定理。

有很多技術通過不動點疊代產生了序列收斂加速。例如，應用於一個疊代不動點的Aitken方法叫做Steffensen方法，生成二次收斂。 不動點理論同樣也適用於經濟學領域。

極限行為

通過疊代，可以發現有向一個單一點收縮和會聚的一個集合。在這種情況下，會聚到的這個點叫做吸引不動點。反過來說，疊代也可以表現得從一個單一點發散；這種情況叫不穩定不動點。

當軌道的點會聚於一個或多個極限的時候，軌道的會聚點的集合叫做極限集合或 ω-極限集合。

吸引和排斥的想法類似推廣；依據在疊代下小鄰域行為，可把疊代分類為穩定集合和不穩定集合。

其他極限行為也有可能；比如，遊蕩點是總是移動永不回到甚至接近起點的點。

例子

著名的疊代函數包括曼德博集合和疊代函數系統。

如果 f 是一個群元素在一個集合上的作用，則疊代函數對應於自由群。

參見

• 旋轉數
• Sarkovskii定理

引用

• Vasile I. Istratescu, Fixed Point Theory, An Introduction, D.Reidel, Holland (1981). ISBN 90-277-1224-7