喬丹–維格納變換

Jordan–Wigner 變換可用於將自旋算符映射到費米子產生和湮滅算符。一維晶格模型Pascual JordanEugene Wigner 提出,當前亦得到二維模型的類似變換。 通過把自旋算符變換為費米子的產生湮滅算符,繼而在費米子基矢中作對角化,Jordan–Wigner 變換經常用於精確求解 1D 自旋鏈,例如伊辛模型XY 模型

此變換證明一維空間至少在有些情況下, 自旋-1/2 粒子與費米子不可區別。

自旋與費米子類比

接下來證明如何從一維自旋-1/2粒子構成的自旋鏈映射到費米子.

自旋-1/2泡利算符作用到1D鏈的上的第j個晶座, . 選取 反對易算符   and  , 可以發現  , 這些可從費米子的產生湮滅算符中得到。我們可以嘗試,

 
 
 

這樣,可以得到同晶格上費米子關係  , 但對不同的晶格,有關係  , 其中  , 如此不同晶格上的自旋的對易關係不同於反對易的費米子。人們必須彌補這個問題。

Jordan–Wigner 變換

能夠恢復從自旋算符到真正費米子對易關係的變換於1928由 Jordan 和 Wigner 提出[1]。此為 Klein 變換的特殊情況。考慮費米子鏈,定義一組新算符

 
 
 

與之前的定義相差一個相  。此相與場模   下佔據的費米子數有關。如果佔有模數為偶,此相等於  ; 佔有模數為奇,相為  。表示為

 

最後一個等式使用了  

這樣,變換後的自旋算符具有正確的費米子對易關係

 

逆變換為

 
 
 

另見

參考文獻

  1. ^ P. Jordan and E. Wigner, Über das Paulische Äquivalenzverbot, Zeitschrift für Physik 47, No. 9. (1928), pp. 631-651.