乔丹–维格纳变换

Jordan–Wigner 变换可用于将自旋算符映射到费米子产生和湮灭算符。一维晶格模型Pascual JordanEugene Wigner 提出,当前亦得到二维模型的类似变换。 通过把自旋算符变换为费米子的产生湮灭算符,继而在费米子基矢中作对角化,Jordan–Wigner 变换经常用于精确求解 1D 自旋链,例如伊辛模型XY 模型

此变换证明一维空间至少在有些情况下, 自旋-1/2 粒子与费米子不可区别。

自旋与费米子类比

接下来证明如何从一维自旋-1/2粒子构成的自旋链映射到费米子.

自旋-1/2泡利算符作用到1D链的上的第j个晶座, . 选取 反对易算符   and  , 可以发现  , 这些可从费米子的产生湮灭算符中得到。我们可以尝试,

 
 
 

这样,可以得到同晶格上费米子关系  , 但对不同的晶格,有关系  , 其中  , 如此不同晶格上的自旋的对易关系不同于反对易的费米子。人们必须弥补这个问题。

Jordan–Wigner 变换

能够恢复从自旋算符到真正费米子对易关系的变换于1928由 Jordan 和 Wigner 提出[1]。此为 Klein 变换的特殊情况。考虑费米子链,定义一组新算符

 
 
 

与之前的定义相差一个相  。此相与场模   下占据的费米子数有关。如果占有模数为偶,此相等于  ; 占有模数为奇,相为  。表示为

 

最后一个等式使用了  

这样,变换后的自旋算符具有正确的费米子对易关系

 

逆变换为

 
 
 

另见

参考文献

  1. ^ P. Jordan and E. Wigner, Über das Paulische Äquivalenzverbot, Zeitschrift für Physik 47, No. 9. (1928), pp. 631-651.