四階五邊形鑲嵌
在幾何學中，四階五邊形鑲嵌是由正方形組成的雙曲面正鑲嵌圖，在施萊夫利符號中用{5,4}表示。四階五邊形鑲嵌即每個頂點皆為五個五邊形的公共頂點，頂點周圍包含了四個不重疊的五邊形，一個正五邊形內角為108度，四個五邊形超過了360度，因此無法因此無法在平面作出，但可以在雙曲面上作出。
 龐加萊圓盤模型 | ||
| 類別 | 雙曲正鑲嵌 | |
|---|---|---|
| 對偶多面體 | 五階正方形鑲嵌 | |
| 識別 | ||
| 鮑爾斯縮寫 | peat | |
| 數學表示法 | ||
| 考克斯特符號 |     | |
| 施萊夫利符號 | {5,4} r{5,5} | |
| 威佐夫符號 | 4 | 5 2 2 | 5 5 | |
| 組成與佈局 | ||
| 頂點圖 | 5.5.5.5 | |
| 對稱性 | ||
| 對稱群 | [5,4], (*542) [5,5], (*552) | |
| 旋轉對稱群 | [5,4]+, (542) [5,5]+, (552) | |
| 圖像 | ||
| ||
四階五邊形鑲嵌在雙色半正表面塗色時，也可以稱為截半五階五邊形鑲嵌，因為該結構可由五階五邊形鑲嵌通過截半變換構造而來。
對稱群
四階五邊形鑲嵌可表示以正五邊形的五邊鏡射的雙曲萬花筒。其對稱群在軌形符號中以*22222表示五階雙鏡射相交，考克斯特符號則以[5*,4]表示從[5,4]移除兩個穿過五邊形中心的三個鏡射像。
該鑲嵌有一種表面塗色，即將五邊形交錯塗上不同顏色。該表面塗色的圖形可以用t1{5,5}的施萊夫利符號表示，是一種半正鑲嵌，稱為截半五階五邊形鑲嵌。
相關多面體及鑲嵌
四階五邊形鑲嵌可以透過截角操作或其他康威變換得到一系列與之相關的半正鑲嵌，其與四階五邊形鑲嵌擁有相似的對稱性[5,4], (*542)或[5,4]+(542)：
| 對稱性：[5,4], (*542) | [5,4]+, (542) | [5+,4], (5*2) | [5,4,1+], (*552) | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
   
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
| {5,4} | t{5,4} | r{5,4} | 2t{5,4}=t{4,5} | 2r{5,4}={4,5} | rr{5,4} | tr{5,4} | sr{5,4} | s{5,4} | h{4,5} | |
| 半正對偶 | ||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||
| V54 | V4.10.10 | V4.5.4.5 | V5.8.8 | V45 | V4.4.5.4 | V4.8.10 | V3.3.4.3.5 | V3.3.5.3.5 | V55 | |
四階五邊形鑲嵌也可以從五階五邊形鑲嵌透過截角操作或其他康威變換得到一系列與之相關的半正鑲嵌，由於對應的鑲嵌是截半五階五邊形鑲嵌，因此與五階五邊形鑲嵌擁有相似的對稱性[5,5], (*552)或[5,5]+(552)：
| 對稱性：[5,5], (*552) | [5,5]+, (552) | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| = 
|
=
|
= 
|
=
|
=
|
=
|
=
|
=
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| {5,5} | t{5,5} |
r{5,5} | 2t{5,5}=t{5,5} | 2r{5,5}={5,5} | rr{5,5} | tr{5,5} | sr{5,5} |
| 半正對偶 | |||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| V5.5.5.5.5 | V5.10.10 | V5.5.5.5 | V5.10.10 | V5.5.5.5.5 | V4.5.4.5 | V4.10.10 | V3.3.5.3.5 |
| 球面鑲嵌 | 多面體 | 雙曲鑲嵌 | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 24 | 34 | 44 | 54 | 64 | 74 | 84 | ...∞4 |
| 多面體 | 歐式鑲嵌 | 雙曲鑲嵌 | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
 {5,2} 
|
 {5,3} 
|
{5,4}
|
 {5,5}
|
 {5,6} 
|
 {5,7} 
|
 {5,8} 
|
... |  {5,∞} 
|
參見
參考文獻
- John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 19, The Hyperbolic Archimedean Tessellations)
- Chapter 10: Regular honeycombs in hyperbolic space. The Beauty of Geometry: Twelve Essays. Dover Publications. 1999. ISBN 0-486-40919-8. LCCN 99035678.
外部連結
- 埃里克·韋斯坦因. Hyperbolic tiling. MathWorld.
- 埃里克·韋斯坦因. Poincaré hyperbolic disk. MathWorld.
- Hyperbolic and Spherical Tiling Gallery（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
- KaleidoTile 3: Educational software to create spherical, planar and hyperbolic tilings （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
- Hyperbolic Planar Tessellations, Don Hatch（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）