User:A2560862780/圆

在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做 (英語:Circle[註 1][1]

历史

圆形,是一个看来简单,实际上是十分奇妙的图形。古代人最早是从太阳、阴历十五的月亮得到圆的概念的。在一万八千年前的山顶洞人曾经在兽牙砾石和石珠上钻孔,那些孔有的就很像圆。[2]到了陶器时代,许多陶器都是圆的。圆的陶器是将泥土放在一个转盘上制成的。当人们开始纺线,又制出了圆形的石纺锤陶纺锤。古代人还发现搬运圆的木头时滚着走比较省劲。后来他们在搬运重物的时候,就把几段圆木垫在大树、大石头下面滚着走。

约在6000年前,美索不达米亚人,做出了世界上第一个轮子——圆型的木盘。大约在4000多年前,人们将圆的木盘固定在木架下,这就成了最初的车子。 古代埃及人认为:圆,是神赐给人的神圣图形。一直到两千多年前我国的墨子(约公元前468-前376年)才给圆下了一个定义:圆,一中同长也。意思是说:圆有一个圆心,圆心到圆周的长都相等。这个定义比希腊数学家欧几里得(约公元前330-前275年)给圆下定义要早100年。

性质

解析几何

  • 直角坐标系中的定义: ,其中a是半径, 是圆心坐标。
  • 参数方程的定义:  
  • 极坐标方程的定义(圆心在原点): 

圆心

是在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合,这个定点叫做圆的圆心(通常用 表示)。[3]

圆周上任何两点相连的线段称为圆的(英語:chord)。如图2, 分别为圆上任意两点,那么 就是圆的

上任意两间的部分叫做(英語:arc),通常用符号 表示。弧分为半圆优弧劣弧三种。[3]

直径、半径

直径:经过圆心的叫做直径(用 表示)。[1]
半径(英語:radius):在圆中,连接圆心和圆上任意一点的线段叫做圆的半径,半径用字母 表示。

 

切线

假如一条直线与圆相交僅有一个交点,那么称这条直线是这个圆的切线,与圆相交的叫做切点。如[1]如下图,直线 与圆只有一个交点 ,那么 就是圆的切线。 过圆上一点的切线:设该点为 圆的方程为 则该点和圆的切线方程为: 

  • 性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径.
  • 推论1:经过圆心且垂直于切线直线必经过切点.
  • 推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

割线

一条直线与一条弧线有两个公共点,这条直线是这条曲线的割线(英語:Secant Theorem)。[1]如图,直线 与圆有两个公共点,那么直线 就是圆的割线。

 
θ 的正割是从 0Q的距离.

周长

圆的一周的长度称为圆的周长(记作 )。圆的周长与半径的关系是:

  

其中 圆周率

面积

圆的面积与半径的关系是: 

对称性

既是轴对称图形又是中心对称图形,圆的对称轴为经过圆心 的任意直线,圆的对称中心为圆心 [3]

圓心角、圆周角

 
图2:弦、圆周角、圆心角

圆心角:顶点在圆心的叫圆心角,圆心角的度数等于它所对的弧的度数,公式表示为 [註 2][1]如右图, 为圆的圆心,那么 为圆心角。
圆周角:顶点在圆周上,两边和圆相交的角叫圆周角。如右图, 的顶点 在圆周上, 的两边 分别交在圆周上,那么 就是圆周角。

圆心角定理

同圆或等圆中,相等的圆心角所对的相等,所对的相等,弦心距[註 3]相等,此定理也称“一推三定理”。[3]

圆周角定理

圆周角定理:同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的的一半。[3]
如上图, 为圆心, 分别为圆周上的,那麼: 

证明: 
 
 
 
 
即: 


圆周角定理的推论:
推论 :同弧或等所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周所对的弧是等弧。
推论 :半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧的半圆,所对的弦是直径。
推论 :若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形

垂径定理

 
垂径定理示意图

垂径定理:垂直于的直径平分弦且平分弦所对的[3]如图,直径  ,那么 平分 且平分 

  • 推论1:(1)平分[註 4]的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条
(2)垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。
(3)平分所对的一条的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条
  • 推论2:圆的两条平行所夹的弧相等。

兩圓位置關係

 

兩個不同大小的圓(半徑分別為  ,圓心距為 ,其中 )之間的可能關係如下:

  1.  :兩圓不相交(內含),互為同心圓
  2.  :兩圓不相交(內含,亦稱「內離」)。
  3.  :兩圓相交於一點(內切),有1條共同切線。
  4.  :兩圓相交於一點(外切),有3條共同切線。
  5.  :兩圓相交於兩點,有2條共同切線。
  6.  :兩圓不相交(外離),有4條共同切線。

圆系方程

数学中,符合特定条件的构成一个集合,称为圆系,描述圆系的方程即为圆系方程。

类型

  • 过两圆  交点的圆系方程为:
    •  +λ( )=0(λ≠-1)
  • 过直线 与圆 的交点为:
    •  +λ( )=0
  • 过两圆  交点的直线方程为:
    •  

其他定义

  • 椭圆是平面上到两个固定点的距离之和为常数的点之轨迹,椭圆的形状可以用离心率来表示;圆可以看作是一种特殊的椭圆,即当椭圆的两个焦点重合,离心率 的情况。
  • 三維空間球面被設定為是在 空間中與一個定點距離為 的所有的集合,此處r是一個正的實數,稱為半徑,固定的點稱為球心中心,並且不屬於球面的範圍。 是球的特例,稱為單位球

在測度空間中,圓的定義仍舊指距離一定點等距(在該測度下)的點的集合,不過隨著測度的不同,定義出來的圓的形狀也可能大不相同。例如在計程車測度底下定義出來的圓,實際上的形狀(在一般的觀點中)會是一個正方形。

相關的立体图形

切面為圓的三維形狀有:

圓和其他平面形狀

當多邊形的每條邊固定,以有外接圓的圖形面积最大(參見等周定理)。

圓的問題

参考资料

注释

资料

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 高中数学必修1. 北京: 人民教育出版社. 2014. ISBN 9787107177057. 
  2. ^ 历史. 北京: 人民教育出版社. 2014. ISBN 9787107155598. 
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 数学. 北京: 北京师范大学出版社. 2014. ISBN 9787303136933. 

参见


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