无限边形
在几何学中，无限边形（英语：Apeirogon）是指有无限多条边的多边形，是多边形的一种，每个无限边形皆具有无限条边和无限个顶点[2]。
| 正无限边形 | |
|---|---|
 | |
| 类型 | 正多边形 |
| 对偶 | 正无限边形 (本身) |
| 边 | ∞ |
| 顶点 | ∞ |
| 施莱夫利符号 | {∞} |
| 考克斯特符号 |    |
| 鲍尔斯缩写 | aze |
| 对称群 | 二面体群 (D∞), order 2×∞ |
| 旋转群 | D∞ |
| 内角（度） | 180° |
| 特性 | 非严格凸, 圆内接多边形, 等边多边形, 等角多边形, 直线 |
也因为如此，两个正无限边形就可以填满整个平面。当两个正无限边形密铺了平面之后所形成的图形称为二阶无限边形镶嵌，意为每个顶点都是两个正无限边形的公共顶点，其顶点图可以计为 ∞.∞.
在欧几里得几何中，无限边形是一个退化多边形，其边数是可数集的数量。无限边形跟多边形一样，有边、顶点、和角，只是他们呈一直线。换句话说，无限边形的所有顶点都共线，即他们都会落在一条直线上。但是，一个多边形不能存在端点，实际上无限边形也没有端点，因为要达到无限的数量永远无法在任何一个方向找到端点。无限边形并不是圆形，因为在多边形的定义中，边不能为曲线。
无限边形可以视为平面正镶嵌（无限面体）在二维空间的类比。无限边形可以围出一个半平面，因此2个无限边形即可密铺一个平面，称为正无限边形镶嵌。
正无限边形
正无限边形是正多边形的一种，是指每条边都等长、每个角都等角的无限边形，就如同一般的正多边形。在施莱夫利符号中可用{∞}来表示。正无限边形的内角为180度，为一平角，因此整个正无限边形似乎是一条直线。
| 正 | 半正 | ||
|---|---|---|---|
| ∞.∞ | 2∞ | 4.4.∞ | 3.3.3.∞ |
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|
|
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{∞, 2}   
|
{2, ∞}
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t{2, ∞}
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sr{2, ∞} 
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正无限边形也可以看作是四种平面的正与半正镶嵌图和五种均匀对偶镶嵌图内的线性集。
| 3种方向 | 1种方向 | 2种方向 | |
|---|---|---|---|
 截半六边形镶嵌 |
 正三角形镶嵌 |
 异扭棱正方形镶嵌 |
 正方形镶嵌 |
| 3种方向 | 6种方向 | 1种方向 | 4种方向 | |
|---|---|---|---|---|
 筝形镶嵌 |
 三角化三角形镶嵌 |
 四角化菱形镶嵌 |
 柱形五边形镶嵌 |
 四角化正方形镶嵌 |
其他无限边形
如同一般的多边形，无限边形一样可以分为正多边形、等边、等角等种类。
等角无限边形是指每个角都相等的无限边形。
等边无限边形是指每个边都等长的无限边形，由于等角未必等边，因此等角无限边形或等边无限边形不一定是正无限边形，但正无限边形必等边且等角。
不等边无限边形（英语：Scalene apeirogon）不等边的无限边形（类似三角形中的不等边三角形）。
不规则无限边形（英语：Irregular apeirogon）不等边也不等角的无限边形。
点可递无限边形（英语：Isogonal apeirogon）是指等角但有两种不同的边长交错出现（类似四边形中的矩形）。
半正无限边形（英语：Quasiregular apeirogon）是指等边的点可递无限边形。
边可递无限边形（英语：Isogonal apeirogon）是点可递无限边形的对偶多边形，具有相同的边长但有两种不同的角（类似四边形中的菱形），几何上等同于正无限边形，可在顶点上交替上色以便看出其差异。
| 正 | ... ...
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|---|---|
| 半正 | ...  ...
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| 点可递 | ...  ...
|
| 边可递 | ...  ...
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扭歪无限边形
扭歪无限边形（英语：Skew apeirogon）是一种顶点不共线的无限边形。正的扭歪无限边形可由正镶嵌图的皮特里多边形构造[3]。
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双曲面上的无限边形
在双曲面上的无限边形最著名的是正无限边形， {∞}，其位于双曲面上时能够像有限边数的正多边形一样拥有曲率，但其外接圆并非圆形而是双曲极限圆或双曲超圆形。由于多边形的定义是平面上由一系列线段首尾连接起来的封闭图形，在双曲面无限边形的边在无穷远处首尾相接并在双曲面上形成一个封闭的区域。有时外接圆为超圆形的无限边形因具有发散镜射形式无法像一般的无限边形在无穷远处首尾相接，因此又称伪多边形。
正无限边形的边会合于双曲面面上的无穷远处（庞加莱模型的圆周上）在施莱夫利符号中用{∞}表示，并存在外接圆：双曲极限圆。
施莱夫利符号为{∞,3}的双曲正镶嵌图具有无限边形的面。双曲的无限边形也存在仅等边的无限边形或半正无限边形，像是截角无限边形t{∞}，例如施莱夫利符号为tr{∞,3}的镶嵌图，存在两组不同的边长，交错的与三角形或其他无限边形相邻。
| 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|
 {∞,3} 
|
 {∞,4} 
|
 {∞,5} 
|
| 6 | 7 | 8 | ... | ∞ |
|---|---|---|---|---|
 {∞,6} 
|
 {∞,7} 
|
 {∞,8} 
|
 {∞,∞}
|
| {∞, 3} | tr{∞, 3} | tr{12i, 3} |
|---|---|---|
| 正: {∞} |
 半正: t{∞} |
 伪半正: t{12i} |
伪多边形
诺曼·约翰逊将一般的发散镜射形式的无限边形称为伪多边形，其外接圆为超圆形，正伪多边形在施莱夫利符号中用{iπ/λ}表示，其中λ表示发散垂直镜射的周期距离[4]，用以代表其具有比无限边形更多的边与顶点，又称为超无限边形。
无限角星
| 正无限角星 | |
|---|---|
 正无限角星形{∞/4}、   | |
| 对偶 | 自身对偶 |
| 边 | ∞ |
| 顶点 | ∞ |
| 施莱夫利符号 | {∞/p} {∞|∞/2} |
| 考克斯特符号 |  |
| 鲍尔斯缩写 | aze |
| 对称群 | 二面体群 (D∞) |
| 特性 | 星形、等边、等角 |
无限角星（英语：Apeirogram）又称为无限芒星，是指有无限多个顶点的星星图形，几何学中是边自我交叉的无限边形，由于平面上的正无限边形顶点皆共线，因此平面上无法构造出无限角星，但双曲面上的无限边形因存在外接圆极限圆因此可以构造出无限角星。
在几何上，正无限角星能够有有无限多种，在施莱夫利符号中用{∞|n}表示，其中所述第二数字差别在绘制无限角星时顶点间隔数，若施莱夫利符号计为{∞|1}则为正无限边形，一般会省略后半只计{∞}。
 {∞/2} 
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 {∞/3} 
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{∞/4}
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 {∞/5} 
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 {∞/6} |
 {∞/(∞/2)} |
亦有非正的无限角星，例如反截角无限边形，是反截角多边形系列的算数极限。
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... | 
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| 反截角三角形 六角星 |
反截角正方形 八角星 |
反截角五边形 十角星 |
反截角六边形 十二角星 |
反截角无限边形 无限角星 |
此外，无限角星也可以是复合多边形，如同六角星的大卫之星，由两个边数一半的多边形旋转后重叠而成。这种无限角星在施莱夫利符号中用{∞|2}、2{∞}、{{∞}}或{∞/2}表示，其由两个正无限边形旋转叠在一起，因此又称为二复合正无限边形，其交点是一个正无限边形。
 {∞|2} 2{∞}={{∞}} |
参见
参考文献
- Coxeter, H. S. M. Regular Polytopes 3rd ed. New York: Dover Publications. 1973: 121–122. ISBN 0-486-61480-8. p.296, Table II: Regular honeycombs
- Grünbaum, B. Regular polyhedra - old and new, Aequationes Math. 16 (1977) p. 1-20
- Peter McMullen, Egon Schulte, Abstract Regular Polytopes, Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-81496-0 (Page 25)
- ^ Coxeter, H. S. M. Regular Polytopes 3rd. New York: Dover Publications. 1973: 121–122. ISBN 0-486-61480-8.
- ^ Coxeter, Regular polytopes[1], p.45
- ^ Coxeter, H. S. M. & Moser, W. O. J. Generators and Relations for Discrete Groups. New York: Springer-Verlag. 1980. ISBN 0-387-09212-9. (1st ed, 1957) 5.2 The Petrie polygon {p,q}.
- ^ Norman Johnson, Geometries and symmetries, (2015), Chapter 11. Finite symmetry groups, Section 11.2 The polygonal groups. p.141